第一章 绪 论

第一节 计算方法的研究内容及特点

第二节 数值计算的误差

   一、 误差的来源与分类

   二、 绝对误差与误差限

   三、 相对误差与相对误差限

   四、 有效数字

   五、 数据误差对函数值的影响

第三节 数值计算的若干原则

   一、 尽量避免两个相近的数相减

   二、 避免大数 “吃” 小数的现象

   三、 避免用绝对值相对较小的数作除数

   四、 选用数值稳定性好的算法

   五、 注意简化计算步骤, 减少运算次数

本章小结

思考题

习题一

上机实验

第二章 非线性方程求根

第一节 根的隔离与二分法

   一、 求隔根区间的一般方法

   二、 二分法

第二节 迭代法及其收敛性

   一、 简单迭代法

   二、 迭代法的收敛性

   三、 迭代法的收敛速度

   四、 埃特金加速法

第三节 牛顿迭代法

   一、 牛顿迭代法

   二、 牛顿迭代法的局部收敛性

   三、 计算 m 重根的牛顿迭代法

第四节 弦割法

本章小结

思考题

习题二

上机实验

第三章 线性方程组的数值解法

第一节 引言

第二节 高斯消去法

   一、 三角形方程组及其解法

   二、 高斯消去法

   三、 矩阵的三角分解

   四、 列主元高斯消去法

第三节 高斯消去法的变形

   一、 直接三角分解法

   二、 平方根法

   三、 追赶法

第四节 向量范数和矩阵范数

   一、 向量范数

   二、 矩阵范数

第五节 解线性方程组的迭代法

   一、 迭代法的基本思想

   二、 雅可比迭代法

   三、 高斯-赛德尔迭代法

   四、 迭代法的收敛性

第六节 解线性方程组的超松弛迭代法

本章小结

思考题

习题三

上机实验

第四章 插值与逼近

第一节 引言

   一、 问题的提出

   二、 插值多项式的存在与唯一

第二节 拉格朗日插值

   一、 线性插值与抛物插值

   二、 拉格朗日插值多项式

   三、 插值余项与误差估计

第三节 差商与牛顿插值

   一、 差商及其性质

   二、 牛顿插值多项式

第四节 差分与等距节点插值

   一、 差分及其性质

   二、 等距节点牛顿插值多项式

第五节 埃尔米特插值

   一、 问题描述

   二、 两个节点的埃尔米特插值多项式

   三、 埃尔米特插值余项

   四、 (n+1) 个节点的埃尔米特插值

第六节 分段低次插值

   一、 高次多项式插值的龙格现象

   二、 分段低次插值

第七节 三次样条插值

   一、 三转角方程

   二、 三弯矩方程

第八节 曲线拟合

   一、 问题的提出

   二、 最小二乘拟合

   三、 最小二乘拟合多项式

   四、 一般最小二乘拟合

本章小结

思考题

习题四

上机实验

第五章 数值积分与数值微分

第一节 引言

   一、 问题的提出

   二、 代数精度的概念

   三、 插值型求积公式

第二节 牛顿-柯特斯求积公式

   一、 牛顿-柯特斯求积公式

   二、 梯形公式、 辛普森公式和柯特斯公式

第三节 复化求积公式

   一、 复化梯形公式

   二、 复化辛普森公式

   三、 复化柯特斯公式

   四、 变步长复化求积法

第四节 龙贝格求积公式

   一、 龙贝格求积公式

   二、 外推加速法

第五节 高斯求积公式

   一、 问题的提出

   二、 高斯求积公式

   三、 高斯求积公式的构造

   四、 高斯求积公式的余项、 稳定性和收敛性

第六节 数值微分

   一、 问题的提出

   二、 插值型求导公式

本章小结

思考题

习题五

上机实验

第六章 常微分方程数值解法

第一节 引言

第二节 欧拉方法

   一、 欧拉方法

   二、 梯形公式

   三、 改进的欧拉方法

   四、 欧拉两步公式

   五、 步长的自动选择

第三节 龙格-库塔方法

   一、 龙格-库塔方法的基本思想

   二、 二阶龙格-库塔法

   三、 高阶龙格-库塔公式

第四节 单步法的收敛性和稳定性

   一、 单步法的收敛性

   二、 单步法的稳定性

第五节 线性多步法

   一、 阿当姆斯显式方法

   二、 阿当姆斯隐式方法

   三、 阿当姆斯预估-校正法

第六节 一阶方程组与高阶方程

   一、 一阶方程组

   二、 高阶微分方程的数值解法

本章小结

思考题

习题六

上机实验

第七章 矩阵的特征值与特征向量计算

第一节 引言

第二节 幂法和反幂法

   一、 幂法

   二、 瑞利商加速

   三、 反幂法

第三节 雅可比方法

   一、 雅可比方法

   二、 雅可比过关法

第四节 QR 算法

本章小结

思考题

习题七

上机实验

上机实验参考程序

参考文献